阻力模型

系统动力学建模中，摩擦力是系统内部的主要阻力。摩擦力可分为静摩擦力、库伦摩擦力、粘性摩擦力。根据《非线性系统》，三种摩擦力相互独立，而我们常说的“滑动摩擦力”是库仑摩擦的真子集。工程上，常使用库仑摩擦模型、Stribeck摩擦模型、Dahl摩擦模型来近似建模。

本文首先介绍三种不同的摩擦力及其数学公式，其次给出工程上的摩擦力模型，最后给出simulink建模方法。

摩擦力组成

静摩擦力

当两表面接触且相对速度为零时，接触表面微观凸起发生“咬合/粘附”，产生阻止开始滑动的摩擦力。该力随外力变化而变化，直至达到某一阈值后开始滑动。即

$$F_{fric}\in\left[-F^{\max}_s, F^{\max}_s \right],\quad F^{\max}_s=\mu_sN$$

其中，$N$是法向力，静摩擦力是不等式约束，在数值上回导致非光滑（需要特别处理：事件检测、互补问题或正则化）。

库伦摩擦力

库仑摩擦力是物体已经在相对滑动时的摩擦力，经典近似认为与速度幅值关系弱（可视为常数），方向总与相对速度方向相反。一般略小于最大静摩擦。

$$F_c = -\mu_k N\text{sign}(v),\quad v\neq0$$

该摩擦力在速度为零时没有定义，所以该力是不连续的，在数值仿真时常导致抖振，需要正则化处理。

粘性摩擦力/粘性阻尼

这部分摩擦力与相对速度成比例，典型于流体润滑或黏性接触界面，也可作为轴承、润滑层和空气阻力等耗散的线性近似。在系统动力学建模中，常以阻尼力出现。（其实究其根本，“阻尼”一词是妨碍系统运动的所有因素的总称；但是在机械系统动力学中，我们常将其中的粘性阻尼独立出来建模处理。此处粘性摩擦力即动力学模型中的粘性阻尼） 其数学表达式：

$$F_v=-bv$$

其中，$b$是粘性阻尼系数，$v$是物体运动速度。

摩擦力模型

在低速近似建模、初级动力学分析场景下，摩擦力可以仅使用库仑摩擦力模型用以近似；在流体环境或润滑良好的机械系统中则使用粘性摩擦力及库仑摩擦力的组合。

但是有几个问题，导致在实际的工程应用中，无法直接应用上述模型：①静摩擦力与库仑摩擦力衔接不连续；②描述低速启动、微动等情况的效果较差。

因此，有时建模时会采用如下的方法：双正切曲线模型、Stribeck模型、Dahl模型。

双曲正切函数

前文提到，库伦摩擦力模型 $F_c = -\mu_k N\text{sign}(v)$，由于符号函数 $\text{sign}(·)$ 的存在，该模型在速度为0附近有抖振现象，对于系统稳定性具有严重的影响，并且在仿真中，这种突变会让微分方程变得非光滑，积分器容易发散或者需要很小的时间步长。因此不少学者提出使用双曲正切函数 $\text{tanh}(·)$ 替换符号函数。双曲正切函数表达式为：

$$\tanh(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$$

此时，库仑摩擦力为：

$$F_c = -\mu_kN\tanh\left(\dfrac{v}{v_s}\right)$$

其中，$v_s$是一个小速度的尺度参数。当$v\gg v_s$时，$\tanh(v/v_s)\to 1$，表现接近于恒定摩擦力，当$v\ll v_s$时，$\tanh(v/v_s)\approx 1$，摩擦力随速度线性变化，平滑过渡零速区域。

使用双曲正切函数具有如下优点：连续且可导的，没有尖锐拐点，方便用常规微分方程求解。避免了符号函数的速度零点抖动（stick-slip 数值不稳定）。真实摩擦力在速度很小的范围内并不是瞬间从静摩擦变到动摩擦，而是会有一个微小的过渡区，$\tanh$可以模拟这个现象。此外，通过参数 $v_s$ 调整过渡区宽度，从近似理想库伦摩擦到平滑黏性过渡都可以。

Stribeck模型

静摩擦力的极限大于库仑摩擦力，所以当物体速度从0变为非零值时，其所受阻力是相对减小的，但是双曲正切函数不具备描述该物理行为的该功能。因此，学者提出Stribeck模型，该模型描述的是在近零速度范围内摩擦力随速度上升而先下降、由静摩擦峰值过渡到滑动（库仑）摩擦的平台的现象。物理原因包括微观接触“咬合/粘附”随速度被破坏、润滑膜从边界润滑向流体润滑转变等。

Stribeck模型在低速（近停）时，摩擦力接近或达到静摩擦峰值 $F^{\max}_s$，提速后的一段低速区的摩擦力则逐渐降低，在中高速时，摩擦力趋近于库仑摩擦 $F_c$，并且随速度增加再由粘性项逐渐增加（若存在粘性项）。

其公式为：

$$F_{fric}(v)=\left[F_c+\left(F_s-F_c\right)e^{-\left(\lvert v\rvert/v_s \right)^p} \right]\text{sign}(v)+F_v$$

其中，$F_s,F_v,F_c$ 分别为 静摩擦力峰值、粘性摩擦力、库仑摩擦力（为维护公式统一性，方便叙述，此处的静摩擦力峰值记为$F_s$，而不再使用前文的 $F^{\max}_s$）。此外，粘性阻尼在我们的系统建模中已单拎出来。 Stribeck模型本质上是速度依赖型的静态摩擦曲线，静态是其重要的特点。它虽然描述了低速下摩擦力的下降（Stribeck效应），但是不能够反映位移导致的摩擦渐变。

当然，该公式中的符号函数同样可以替换为双曲正切函数以优化仿真性能。

Dahl模型

很多简单的摩擦模型（比如库伦摩擦）直接假设摩擦力瞬时切换方向，这会导致在仿真中出现力突变，数值不稳定。Dahl通过建立一阶微分方程来描述摩擦力和位移的关系，将摩擦力弹簧化，即：在滑动开始前，摩擦力并不是立即达到最大值，而是逐渐随位移积累。滑动后，摩擦力会渐近到静摩擦极限值，而不是突然跳变。

其模型为：

$$\dfrac{\text{d}F}{\text{d}x}=\sigma\left(1-\dfrac{F}{F_c}\text{sign}(\dot{x})\right)$$

其中，$F$为摩擦力，$x,\dot{x}$分别为接触点相对位移、相对速度，$\sigma$为形状参数，$F_c$为库伦摩擦力。

该模型能够较为准确地描述系统阻力的刚度效应、饱和效应，即在滑动开始前，接触表面的突起会像弹簧那样被剪切变形，摩擦力随位移近似线性增长，刚度为$\sigma$；当位移增大到一定程度，摩擦力趋近于$F_c$，而不再增加，这对应突起断裂、滑移开始。

由于Dahl模型描述了动态摩擦力-位移的关系（通过微分方程计算），可以描述摩擦在微小位移下的渐进变化，并且其通过微分方程天然地描述了摩擦力的滞回特性。

但是，Dahl模型不能描述速度依赖摩擦（需要和 Stribeck 曲线结合），原始模型不包含粘性摩擦或粘附效应，并且参数$\sigma, F_c$需要实验辨识。

此外，不难发现，该模型使用微分方程解算个中关系，因此会增加控制器计算负担。

LuGre模型

前文提到，Stribeck模型是静态模型，不能直接描述摩擦渐变，不能准确描述摩擦力滞回现象。因此，学者综合各方面的因素，提出了LuGre摩擦力模型。 LuGre是一种物理机制型摩擦模型，把摩擦面之间的接触看作很多“弹簧刷毛”微结构（bristles），用弹性-阻尼-滑动方程来描述。其不仅能表现 Stribeck 效应，还能捕捉预滑区、迟滞、速度依赖和力的动态变化。

其核心是LuGre 模型的核心方程为：

1. 内部状态（毛刺位移）动态方程

$$\dot{z} = v - \frac{|v|}{g(v)} z$$

其中：$z$ 是毛刺平均位移（内部状态），$v$ 是相对速度，$g(v)$ 是稳态毛刺位移函数（与速度有关）。

1. 摩擦力输出方程

$$F = \sigma_0 z + \sigma_1 \dot{z} + \sigma_2 v$$

其中：$\sigma_0$ 是毛刺弹性刚度系数（静摩擦刚度），$\sigma_1$ 是毛刺阻尼系数（能量耗散），$\sigma_2$ 是粘性摩擦系数（速度成比例的摩擦）。

1. 稳态函数 ( g(v) ) 常采用 Stribeck 形式：

$$g(v) = F_c + (F_s - F_c) e^{-(v/v_s)^2}$$

其中，$F_s$ 是静摩擦力峰值，$F_c$ 是库伦摩擦力，$v_s$ 为Stribeck 速度（静摩擦力衰减到库伦摩擦的过渡速度）

不难发现，该模型较为复杂，计算量较大，但其能够更准确地描述摩擦力的动态特性，常用于精密伺服系统，车辆制动系统（ABS、ESC）模拟制动片与盘的摩擦特性。。

摩擦力建模

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