前言

一些关于整车的基本概念、理论在此处讨论。

一、整车几何

1. a_x a_y

我们从最基本的运动学关系出发，推导在 车身坐标系（固定在车身上，随车身一起平移和旋转）中，车辆质心绝对加速度的表达式。

1.1 坐标系与符号速查

车身坐标系仍为 ISO 的坐标系：原点位于车辆质心，$x$轴指向车辆正前方，$y$轴指向驾驶员左侧，$z$轴垂直向上（满足右手定则）。此外，定义坐标系三个坐标轴的单位向量：e_x, e_y, e_z。由于车身坐标系随车身旋转，这些单位向量的方向随时间变化。

符号	物理意义	单位
$\mathbf{e}_x,\mathbf{e}_y,\mathbf{e}_z$	坐标系三轴的单位向量	-
$v_x, v_y$	质心纵向、侧向速度	m/s
$a_x, a_y$	质心纵向、侧向加速度	m/s^2
$r$	横摆角速度	rad/s
$\mathbf{V}$	速度矢量	m/s
$\mathbf{a}$	加速度速度矢量	m/s^2
$\mathbf{r}$	横摆角速度向量	rad/s

1.2 单位向量随时间的变化率

由于车身坐标系以角速度 $r$ 绕 $z$ 轴旋转，根据旋转刚体上固定单位向量的性质，其对时间的导数为：

$$\begin{aligned} \frac{d\mathbf{e}_x}{dt} &= \mathbf{r} \times \mathbf{e}_x = r \mathbf{e}_z \times \mathbf{e}_x = r \mathbf{e}_y, \\ \frac{d\mathbf{e}_y}{dt} &= \mathbf{r} \times \mathbf{e}_y = r \mathbf{e}_z \times \mathbf{e}_y = -r \mathbf{e}_x, \\ \frac{d\mathbf{e}_z}{dt} &= \mathbf{r} \times \mathbf{e}_z = \mathbf{0}. \end{aligned}$$

其中 $r = r e_z$ 是角速度矢量。

1.3 质心速度在车身坐标系中的表达式

车辆质心相对于惯性系的速度矢量 $\mathbf{V}$，在车身坐标系中可分解为：

$$\mathbf{V} = v_x \mathbf{e}_x + v_y \mathbf{e}_y.$$

注意：$v_x$ 和 $v_y$ 是标量，它们随时间变化；单位向量 $e_x$ 和 $e_y$ 的方向也随时间变化。

1.4 质心绝对加速度

绝对加速度 $a$ 是速度矢量 $\mathbf{V}$ 对时间的绝对导数（在惯性系中观测的变化率）：

$$\mathbf{a} = \frac{d\mathbf{V}}{dt} = \frac{d}{dt}(v_x \mathbf{e}_x + v_y \mathbf{e}_y).$$

应用乘积求导法则：

$$\begin{aligned} \mathbf{a} &= \frac{d v_x}{dt} \mathbf{e}_x + v_x \frac{d \mathbf{e}_x}{dt} + \frac{d v_y}{dt} \mathbf{e}_y + v_y \frac{d \mathbf{e}_y}{dt} \\ &= \dot{v}_x \mathbf{e}_x + v_x (r \mathbf{e}_y) + \dot{v}_y \mathbf{e}_y + v_y (-r \mathbf{e}_x) \\ &= (\dot{v}_x - v_y r) \mathbf{e}_x + (\dot{v}_y + v_x r) \mathbf{e}_y. \end{aligned}$$

1.5 加速度分量

因此，绝对加速度 $a$ 在车身坐标系 $x$ 轴和 $y$ 轴上的投影（即分量）为：

$$\begin{cases} a_x = \dot{v}_x - v_y r, \\ a_y = \dot{v}_y + v_x r. \end{cases}$$

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