前言

三自由度动力学模型，常用的有 ①基于质心侧偏角、横摆角速度、车身侧倾角的经典三自由度操纵-侧倾模型，②基于纵向速度、侧向速度、横摆角速度的三自由度平面运动模型，以及 ③基于车身垂向运动、俯仰角、侧倾角的三自由度侧倾/垂向模型。一者，是在上文 2自由度动力学模型 的模型基础上考虑侧倾运动得到的，该模型常用于常规操纵稳定性分析、侧倾影响评估；二者，常用于高速、大转向角等极限工况下的非线性稳定性分析；三者，多用于乘坐平顺性分析、驾驶室悬置优化、侧翻稳定性预测。

本节在上文 2自由度动力学模型 的基础上建立经典三自由度操纵-侧倾模型。 由于篇幅原因，在下一节将详细推导三自由度平面运动模型。第三个模型如有可能，后续将进行补充。

一、非线性3自由度操纵—侧倾模型

说明：严格来说“侧偏角 $\beta$”、“横摆角速度 $r$”与“车身侧倾角 $\varphi$”构成三自由度（degrees of freedom）描述，但车身侧倾角 $\varphi$ 的动力学为二阶（存在 $\ddot\varphi$），因此系统整体为四阶动态系统。下面给出从物理出发的逐步推导、线性化假设与最终状态空间形式。

1. 物理设定与符号约定

同样首先进行物理设定及符号约定。坐标系仍为在 整车模型概述 中提到的 ISO 车辆坐标系。符号约定则如下所示：

符号	含义
状态量与速度
$V_x$	车辆纵向速度（取为常数，匀速约化假设）
$v_y$	质心侧向速度
$\beta$	质心侧偏角，$\beta=\arctan(v_y/V_x)$，小角近似 $\beta \approx v_y/V_x$
$r$	横摆角速度（yaw rate）
$\varphi$	车身侧倾角（roll angle）
车辆与悬架参数
$m$	整车质量
$m_s$	簧上质量
$I_{xz}$	侧倾与横摆的惯性积
$I_z$	绕z轴转动惯量
$I_\varphi$	绕纵轴（侧倾）转动惯量（roll inertia）
$l_f$	质心到前轴距离
$l_r$	质心到后轴距离（车长 $L=l_f + l_r$）
$C_f, C_r$	前/后轮线性侧偏刚度（cornering stiffness）
$h$	质心到地面高度，用于将横向加速度转换为滚转力矩
$K_\varphi$	悬架（含反倾杆）等效滚转刚度
$B_\varphi$	悬架等效滚转阻尼
$\delta$	前轮转角（模型输入）

2. 基本动力学方程

(A) 侧向平动方程（质心横向力平衡）. 质心在车体坐标系中的横向动力学（牛顿第二定律）：

$$ma_y - m_s h \ddot{\varphi}= F_{fy} + F_{ry} \tag{1}$$

其中$m,m_s$分别为整车质量与簧上质量，$a_y$为侧向加速度，$h$质心高度，$\ddot{\varphi}$为侧倾角加速度，方程右侧为前/后轮侧向力之和。

(B) 横摆方程（角动量矩平衡）. 绕质心的横摆动量平衡：

$$I_z \dot r - I_{xz} \ddot{\varphi}= l_f F_{fy} - l_r F_{ry} \tag{2}$$

其中，$I_z$为整车绕z轴转动惯量，$r$为横摆角速度，$I_{xz}$为侧倾与横摆的惯性积，该惯量积描述了车辆质量分布不对称性，$l_f,l_r$分别为质心到前/后轴距离。

(C) 车身侧倾（滚转）方程. 车身绕纵向轴的转动方程：

$$I_\varphi \ddot\varphi + B_\varphi \dot\varphi + K_\varphi \varphi = M_{roll}. \tag{3}$$

其中$I_\varphi,B_\varphi,K_\varphi$分别为侧倾惯量、阻尼、刚度，$M_{roll}$为滚转力矩。

3. 侧向方程 a_y 替换

先将$a_y$ 用侧偏角 $\beta$ 与横摆角速度$r$ 表示（匀速近似 $V_x$ 常数）：

$$v_y = V_x \beta,\qquad \dot v_y = V_x \dot\beta,\qquad a_y=\dot{v_y}+V_x r=V_x(\dot\beta + r).$$

将该近似代入侧向平动方程，得到：

$$mV_x\big(\dot\beta + r \big) - I_{xz} \ddot{\varphi}= l_f F_{fy} - l_r F_{ry}. \tag{4}$$

4. 侧倾方程整理（滚转力矩）

滚转力矩 $M_{\text{roll}}$ 的常见近似来源为车辆横向加速度 $a_y$ 在质心高度 $h$ 产生的力矩、横摆角加速度通过惯性耦合产生的附加侧倾力矩、重力恢复力矩：

$$\begin{aligned} M_{\text{roll}} &\approx m h a_y + I_{xz}\dot r + m_s gh\varphi \\ &=m_s h V_x(\dot\beta + r) + I_{xz}\dot r + m_s gh\varphi. \end{aligned} \tag{5}$$

因此滚转方程变为：

$$I_\varphi \ddot\varphi + B_\varphi \dot\varphi + K_\varphi \varphi = m_s h V_x(\dot\beta + r) + I_{xz}\dot r + m_s gh\varphi . \tag{6}$$

备注：更精确的模型还会包含由前、后轮载荷差（垂直载荷转移）引起的差异滚转力矩，例如车轮侧向力乘以轮距的一半等项。但这里我们保留最经典、清晰的耦合项 $m h a_y$。

式(2)(4)(6)描述的模型即为非线性三自由度操纵-侧倾模型：

$$\begin{cases} mV_x\big(\dot\beta + r \big) - I_{xz} \ddot{\varphi}= l_f F_{fy} - l_r F_{ry}, \\ I_z \dot r - I_{xz} \ddot{\varphi}= l_f F_{fy} - l_r F_{ry}, \\ I_\varphi \ddot\varphi + B_\varphi \dot\varphi + K_\varphi \varphi = m_s h V_x(\dot\beta + r) + I_{xz}\dot r + m_s gh\varphi . \tag{0} \end{cases}$$

二、线性化 (NO)

1. 轮胎力线性近似

参考上一节 线性2自由度动力学模型的“轮胎力近似”，在引入侧倾运动时，轮胎侧偏角计算式为：

$\alpha_f \approx \beta + \frac{l_f}{V_x} r - \delta - R_1 \varphi.$

后轮侧偏角为（后轮无主动转向）：

$\alpha_r \approx \beta - \frac{l_r}{V_x} r -R_2 \varphi.$

其中，$R_1,R_2$分别为前后轴侧倾系数。 则轮胎力计算公式为：

$$\begin{aligned} F_{yf} &= C_f \alpha_f = C_f \left( \beta + \frac{l_f}{V_x} r -\delta - R_1 \varphi \right),\\ F_{yr} &= C_r \alpha_r = C_r \left( \beta - \frac{l_r}{V_x} r - R_2 \varphi \right). \end{aligned} \tag{7}$$

2.模型线性化

将式(0)简单整理，依次把方程的$\dot\beta,\dot r,\ddot \varphi$单独放在等号左边，可以得到：

$$\begin{cases} \dot\beta = \dfrac{l_f F_{fy} - l_r F_{ry}+m_sh\ddot{\varphi}}{mV_x}-r. \\ \dot r = \dfrac{1}{I_z}\left(l_f F_{fy} - l_r F_{ry} + I_{xz}\ddot \varphi \right). \\ \ddot \varphi = \dfrac{1}{I_x}\left[I_{xz}\dot r + m_shV_x(\dot \beta + r)+m_s gh\varphi - B_{\varphi}\dot\varphi - K_{\varphi}\varphi\right]. \tag{8} \end{cases}$$

将式(11)代入(8)并进行整理，可以将轮胎力线性化：

$$\begin{cases} \begin{aligned} \dot{\beta} &= \frac{Y_{\beta}}{m V_x} \beta + \left( \frac{Y_r}{m V_x} - 1 \right) r + \frac{Y_{\varphi}}{m V_x} \varphi + \frac{m_s h}{m V_x} \ddot{\varphi} - \frac{Y_{\delta}}{m V_x} \delta \\[8pt] \dot{r} &= \frac{Y_{\beta}}{I_z} \beta + \frac{Y_r}{I_z} r + \frac{Y_{\varphi}}{I_z} \varphi + \frac{I_{xz}}{I_z} \ddot{\varphi} - \frac{Y_{\delta}}{I_z} \delta \\ \ddot \varphi &= \dfrac{1}{I_x}\left[I_{xz}\dot r + m_shV_x(\dot \beta + r)+m_s gh\varphi - B_{\varphi}\dot\varphi - K_{\varphi}\varphi\right]. \end{aligned} \end{cases} \tag{9}$$

其中，

$\qquad\quad \begin{aligned} Y_{\beta} &= C_f l_f - C_r l_r, \\ Y_r &= \dfrac{C_f l_f^2 + C_r l_r^2}{V_x}, \\ Y_{\delta} &= C_f l_f, \\ Y_{\varphi} &= -C_f l_f R_1 + C_r l_r R_2. \end{aligned}$

此时,注意到式(9)的方程的右侧仍存在横摆角速度和质心侧偏角的一阶导、侧倾角的二阶导，因此需要结合这三个方程，进行解耦，得到下式：

$$\begin{cases} \begin{aligned} \dot\beta = a_{11}\beta + a_{12}r + a_{13}\varphi + a_{14}\dot\varphi + b_1 u\\ \dot r = a_{21}\beta + a_{22}r + a_{23}\varphi + a_{24}\dot\varphi + b_2 u\\ \ddot \varphi = a_{41}\beta + a_{42}r + a_{43}\varphi + a_{44}\dot\varphi + b_4 u \end{aligned} \end{cases} \tag{13}$$

当您读到此处，请务必不要再往下。毫无疑问，将该模型线性化是一件愚蠢的事情，首先模型中的系数超级复杂，违背了线性简化的简易性初衷，其次当我们使用三自由度模型时，往往对动力学有更精确的要求，将轮胎线性化与之相悖。

其中，$u=\delta$,

$\begin{aligned} a_{11} &= \frac{(C_f l_f - C_r l_r) \left( I_x I_z - I_{xz}^2 + m_s h I_{xz} \right)}{m V_x \left( I_x I_z - I_{xz}^2 - \dfrac{m_s^2 h^2 I_z}{m} \right)} \\ a_{12} &= \frac{(C_f l_f^2 + C_r l_r^2) \left( I_x I_z - I_{xz}^2 + m_s h I_{xz} \right)}{m V_x^2 \left( I_x I_z - I_{xz}^2 - \dfrac{m_s^2 h^2 I_z}{m} \right)} - 1 \\ a_{13} &= \frac{(-C_f l_f R_1 + C_r l_r R_2) \left( I_x I_z - I_{xz}^2 + m_s h I_{xz} \right) + m_s h I_z (m_s g h - K_\varphi)}{m V_x \left( I_x I_z - I_{xz}^2 - \dfrac{m_s^2 h^2 I_z}{m} \right)} \\ a_{14} &= -\frac{m_s h B_\varphi}{m V_x \left( I_x - \dfrac{I_{xz}^2}{I_z} - \dfrac{m_s^2 h^2}{m} \right)} \\ a_{21} &= \frac{(C_f l_f - C_r l_r) \left( I_x I_z + m_s h I_{xz} - m_s^2 h^2 \right)}{I_z \left( I_x I_z - I_{xz}^2 - \dfrac{m_s^2 h^2 I_z}{m} \right)} \\ a_{22} &= \frac{(C_f l_f^2 + C_r l_r^2) \left( I_x I_z + m_s h I_{xz} - m_s^2 h^2 \right)}{I_z V_x \left( I_x I_z - I_{xz}^2 - \dfrac{m_s^2 h^2 I_z}{m} \right)} \\ a_{23} &= \frac{(-C_f l_f R_1 + C_r l_r R_2) \left( I_x I_z + m_s h I_{xz} - m_s^2 h^2 \right) + I_{xz} I_z (m_s g h - K_\varphi)}{I_z \left( I_x I_z - I_{xz}^2 - \dfrac{m_s^2 h^2 I_z}{m} \right)} \\ a_{24} &= -\frac{I_{xz} B_\varphi}{I_z \left( I_x - \dfrac{I_{xz}^2}{I_z} - \dfrac{m_s^2 h^2}{m} \right)} \\ a_{41} &= \frac{(C_f l_f - C_r l_r) \left( m_s h I_z + m I_{xz} \right)}{m I_z \left( I_x - \dfrac{I_{xz}^2}{I_z} - \dfrac{m_s^2 h^2}{m} \right)} \\ a_{42} &= \frac{(C_f l_f^2 + C_r l_r^2) \left( m_s h I_z + m I_{xz} \right)}{m I_z V_x \left( I_x - \dfrac{I_{xz}^2}{I_z} - \dfrac{m_s^2 h^2}{m} \right)} \\ a_{43} &= \frac{(-C_f l_f R_1 + C_r l_r R_2) \left( m_s h I_z + m I_{xz} \right) + m I_z (m_s g h - K_\varphi)}{m I_z \left( I_x - \dfrac{I_{xz}^2}{I_z} - \dfrac{m_s^2 h^2}{m} \right)} \\ a_{44} &= -\frac{B_\varphi}{I_x - \dfrac{I_{xz}^2}{I_z} - \dfrac{m_s^2 h^2}{m}}\\ b_1 &= -\frac{C_f l_f \left( I_x I_z - I_{xz}^2 + m_s h I_{xz} \right)}{m V_x \left( I_x I_z - I_{xz}^2 - \dfrac{m_s^2 h^2 I_z}{m} \right)} \\ b_2 &= -\frac{C_f l_f \left( I_x I_z + m_s h I_{xz} - m_s^2 h^2 \right)}{I_z \left( I_x I_z - I_{xz}^2 - \dfrac{m_s^2 h^2 I_z}{m} \right)} \\ b_4 &= -\frac{C_f l_f \left( m_s h I_z + m I_{xz} \right)}{m I_z \left( I_x - \dfrac{I_{xz}^2}{I_z} - \dfrac{m_s^2 h^2}{m} \right)} \end{aligned}$

3. 建立状态空间

由于侧倾运动涉及二阶导，所以状态向量应包含侧倾角的一阶导数，因此选取状态向量为$x=\begin{bmatrix} \beta&r&\varphi&\dot \varphi \end{bmatrix}^T$，系统输入为前轮转角$u=\delta$.

则状态空间方程为：

$$\dot x = A x + Bu$$

其中，

$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{bmatrix},\qquad \mathbf{B} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ 0 \\ b_4 \end{bmatrix}$$

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